Definicja wielomianu
Wielomian jest wyrażeniem matematycznym składającym się z zmiennych, współczynników i wykładników. Składa się z jednego lub więcej wyrazów, z których każdy może być kombinacją tych elementów. Ogólna postać wielomianu to:
P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
W tym wzorze P(x) reprezentuje funkcję wielomianową, aₙ do a₀ są współczynnikami, x to zmienna, a ⁿ to najwyższa potęga lub stopień wielomianu.
Obliczanie wartości wielomianu
Aby obliczyć wartość wielomianu P(x) dla konkretnej wartości x, należy podstawić daną wartość do wyrażenia wielomianowego. Przyjrzyjmy się przykładowemu wielomianowi w(x):
w(x) = x⁴ - 6x³ + 3x² + 26x - 24
Jeśli chcemy obliczyć wartość w(x) dla x = 4,5, możemy użyć metody podstawiania:
w(4,5) = (4,5)⁴ - 6(4,5)³ + 3(4,5)² + 26(4,5) - 24 = 17,0625
Dlatego gdy x jest równa 4,5, wartość w(x) wynosi 17,0625.
Stopień wielomianu
Stopień wielomianu to najwyższa potęga zmiennej w wyrażeniu wielomianowym. Dla wielomianu P(x), stopień jest oznaczany jako deg(P). Istnieją dwa rodzaje stopni:
- Stopień wielomianu jednowymiarowego: Stopień wielomianu z jedną zmienną. Określa go najwyższa potęga tej zmiennej w wielomianie.
- Stopień wielomianu wielowymiarowego: Stopień wielomianu z wieloma zmiennymi. Określa go suma wykładników zmiennych w najwyższym wyrazie wielomianu.
Przyjrzyjmy się kilku przykładom, aby zrozumieć pojęcie stopnia wielomianu.
Przykład 1:
p(x) = x² * (1 - x³)⁴
W tym przypadku p(x) to wielomian jednowymiarowy. Stopień p(x) można określić, identyfikując najwyższą potęgę x:
deg(p) = 14
Przykład 2:
q(x, y) = -120x³ - 30x⁴ + 18x⁵ + 5x⁶ + 30xy²
Tutaj q(x, y) to wielomian wielowymiarowy z dwiema zmiennymi x i y. Aby określić stopień q(x, y) względem x i y, musimy zidentyfikować najwyższe potęgi obu zmiennych:
deg(q) = 6 (stopień względem x i y) deg(q, x) = 6 (stopień względem x) deg(q, y) = 2 (stopień względem y)
Współczynniki wielomianu
Współczynniki wielomianu to stałe pomnożone przez poszczególne wyrazy wielomianowe. Reprezentują one wartości liczbowe przypisane do poszczególnych potęg zmiennej. Aby odczytać współczynnik określonego wyrazu, można użyć funkcji coeff.
Przykład 1:
p(x) = xy³ + x²y² + x³y
Aby znaleźć współczynnik przy x² w p(x), można skorzystać z funkcji coeff:
coeff(p, x²) = y²
Przykład 2:
q(x) = -5 + 119/6x - 30x² + 65/3x³ - 15/2x⁴ + x⁵
Aby uzyskać wszystkie współczynniki q(x) w kolejności malejącej potęg x, można użyć funkcji coeffs:
coeffs(q, x) = [-5, 119/6, 1, -15/2, -30, 195]
Grupowanie wyrazów w wielomianie
Podczas pracy z wielomianami przydatne jest grupowanie wyrazów o tej samej potędze zmiennej. Funkcja collect umożliwia to.
Przykład:
p(x) = 9 + 8x + 7x² + 6y + 5xy + 4x²y + 3y² + 2xy² + x²y²
Aby zgrupować wyrazy w p(x) względem x lub y, można skorzystać z funkcji collect:
Grupowanie względem x:
collect(p, x) = (4y + 7 + y²)x² + (8 + 5y + 2y²)x + 9 + 3y² + 6y
Grupowanie względem y:
collect(p, y) = (3 + 2x + x²)y² + (6 + 5x + 4x²)y + 9 + 8x + 7x²
Rozkład wielomianu
Rozkład wielomianu polega na przedstawieniu go jako iloczyn wielomianów nierozkładalnych lub dwumianów. Do rozkładania wielomianu można użyć funkcji factor.
Przykład:
w(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x + 2)
Aby rozłożyć w(x), można skorzystać z funkcji factor:
factor(w) = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x + 2)
Rozwijając sformułowanie rozłożone przy użyciu funkcji expand otrzymujemy pierwotny wielomian:
expand((x - 1)(x - 3)(x - 4)(x + 2)) = x⁴ - 6x³ + 3x² + 26x - 24
Warto zauważyć, że rozkład wielomianu może pomóc w identyfikacji jego pierwiastków oraz uproszczeniu dalszych obliczeń.
Dzielenie wielomianów
Dzielenie wielomianów polega na podziale jednego wielomianu przez drugi. Do sprawdzenia podzielności jednego wielomianu przez drugi i otrzymania ilorazu, jeśli dzielenie jest możliwe, można użyć funkcji divide.
Przykład:
w₁(x) = 2x³ - x² + 2x - 3 w₂(x) = x - 1
Aby sprawdzić, czy w₁(x) jest podzielne przez w₂(x), można użyć funkcji divide:
divide(w₁, w₂) = true
Jeśli dzielenie jest możliwe, można uzyskać iloraz, przypisując trzeci argument (iloraz) funkcji divide:
divide(w₁, w₂, 'q')
Spowoduje to przypisanie ilorazu wielomianów do zmiennej q.
Iloraz i reszta z dzielenia wielomianów
Funkcja quo oblicza iloraz podziału jednego wielomianu przez drugi. Może być użyta w połączeniu z funkcją rem, aby otrzymać zarówno iloraz, jak i resztę.
Przykład:
w₁(x) = x³ + 2x + 1 w₂(x) = x² + 1
Aby znaleźć iloraz podziału w₁(x) przez w₂(x), można użyć funkcji quo:
quo(w₁, w₂, x) = x
Jeśli czwarty argument jest zmienną, np. x, zostanie przypisany iloraz do tej zmiennej.
Aby uzyskać resztę z dzielenia, można użyć funkcji rem:
rem(w₁, w₂, x) = x + 1
Reszta jest otrzymana, gdy dzielenie nie jest dokładne.
Uzupełnianie do kwadratu
Uzupełnienie do kwadratu to technika używana do przepisania wielomianu kwadratowego w postaci sumy kwadratowej plus stała. Polecenie completesquare znajdujące się w pakiecie student umożliwia wykonanie tej operacji.
Przykład:
p(x) = x² + x + 1
Aby uzupełnić p(x) do kwadratu, można użyć polecenia completesquare:
completesquare(p) = (x + 1/2)² + 3/4
Otrzymana forma (x + 1/2)² + 3/4 reprezentuje postać kwadratu doskonałego pierwotnego wielomianu kwadratowego.
Wyodrębnianie podwielomianu
Funkcja compoly umożliwia wyodrębnienie podwielomianu z danego wielomianu. Znajduje podwielomian q(x), dla którego zachodzi p(q(x)) = w(x), gdzie p i w to wielomiany.
Przykład:
w(x) = 16 - 40x² + 48x⁴ - 28x⁶ + 7x⁸
Aby wyodrębnić podwielomian q(x) z w(x), można użyć funkcji compoly:
w := 16 - 40*x² + 48*x⁴ - 28*x⁶ + 7*x⁸ p := compoly(w, x)
Spowoduje to przypisanie wyodrębnionego podwielomianu q(x) do p. W tym przypadku q(x) = -1 + x², a p(x) = 7x + 3 + 6x⁴.
Zrozumienie pojęć dotyczących wielomianów, takich jak definicja, stopień, współczynniki, grupowanie, rozkład, dzielenie i związane operacje, jest istotne dla różnych zastosowań matematycznych i rozwiązywania problemów.
